четверг, 26 февраля 2009 г.

Найти стороны прямоугольника

Найти длины сторон прямоугольника (целые числа), у которого периметр равен площади.

PS: Задачка для 6-го класса ;)

12 комментариев:

John комментирует...

4x4=:)

sash_ko комментирует...

4х4 - это правильно, но есть еще варианты. В этой задаче интереснее не сам результат, а способ его получения

madf комментирует...

4х4, 3х6
Способ получения - ситема неравенств. Мы в школе такие задачки решали, вот только не помню в каком классе :)
Сейчас на решение потратил минут 15 :)

sash_ko комментирует...

Эту задачу можно решить без систем неравенств и при этом доказать, что решения будет только два 4х4, 3х6. Есть идеи как это сделать? :)

Анонимный комментирует...

2(a+b)=ab
ab-2a-2b=0
ab-2a-2b+4=4
-a(-b+2)+2(-b+2)=4
(2-a)(2-b)=4
2-a может быть только 1, -1, 2, -2, 4, -4
2-b может быть _соответственно_ только 4, -4, 2, -2, 1, -1
Отбросив нулевые, отрицательные и симметричные решения, получим (4,4) (3,6).

Как-то так. Диофантово уравнение.

madf комментирует...

Ложим прямоугольник на длинную сторну. Отрезаем от него вдоль две полоски шириной 1.
Оставшаяся часть при разрезании пополам должна дать две полоски длиной с короткую сторону. Резать можно горизонтально или вертикально. Если горизонтально - длина и ширина прямоугольника равны. Если вертикально - оставшаяся часть имеет ширину 1 и ширина прямоугольника равна половине его длины.
2(a + a) = a*a;
4a = a * a;
a = 4;

2(a + 2a) = 2a*a;
6a = 2a*a
a = 3;

ai комментирует...

Построить график y = 2+4/(x-2) (получается из системы уравнений)и посмотреть, через какие точки с целыми x,y он проходит

max комментирует...

Построить график y = 2+4/(x-2) (получается из системы уравнений)и посмотреть, через какие точки с целыми x,y он проходит
Ну да, посмотреть бесконечное множество натуральных чисел

McGray комментирует...

Есть еще одно решение:
2(x+y) = xy
отсюда
x = 2*x/y + 2
или
y = 2*y/x + 2
Откуда следует (при что, что x и y целочисленные), что:
2*x/y как и 2*y/x челочисленные, что в свою очередь возможно только если:
x=y
x=2y
Отсюда пары 4 и 4 и 3 и 6.
Вроде ничего не забыл.

sash_ko комментирует...

2Анонимный: интересное решение, с диофантовыми уравнениями раньше не сталкивался, буду знать

2madf: у меня примерно такое же решение получилось :)

2ai: как уже написал max, вариантов будет очень много. если просто перебирать х от 1 до ... нужно будет знать, когда остановиться

2McGray: действительно, получается 2*x/y и 2*y/x не могут быть целыми, если х равен больше, чем 2-м у: x<=2y, для целых это возможно только если x=y и x=2y.

madf комментирует...

2madf: у меня примерно такое же решение получилось :)
Не зря я весь обеденный перерыв его думал :)
Для меня самым интересным было решение McGray. Не смотря на все свое школьное математическое образование я до него не додумался...

Konstantin Wirz комментирует...

Если начертить кривую x=(-2*x)/(2-x) , в первом квадранте она поднимается до 3 (3;6) потом падает через (4;4) и (6;3) затем бесконечно стремится к единице.
Имеем 3 правильных решения(с целыми числами)